吴国平:打好函数基础,突破函数,你就相当于突破高考数学

吴国平:打好函数基础,突破函数,你就相当于突破高考数学

  函数可以说是高考数学的重中之重,几乎是每年高考数学必考热点之一。

  这是为什么呢?从函数的定义我们可以看出一些端倪,传统函数定义:

  一般的,在一个变化过程中,假设有两个变量x、y,如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应,那么就称x是自变量,y是x的函数。

  x的取值范围叫做这个函数的定义域,相应y的取值范围叫做函数的值域 。

  现代数学函数的定义:

  给定一个数集A,对A施加对应法则f,记作f(A),得到另一数集B,也就是B=f(A)。那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数。

  函数概念含有三个要素:定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。

  从这里我们可以看出,函数具有逻辑性强、系统性强、非常抽象等鲜明数学特点,同时解决函数类问题我们还要借助图象等手段,这就说明跟函数相关的问题,都蕴含包括数形结合在内等丰富的数学思想方法。

  因此,函数类问题因其具有这些特殊性,在平时数学学习过程中能很好培养一个人的思维能力,在考试当中更加能考查一个人运用知识解决问题能力水平的高低,自然就成为高考数学的热门考点。

  幂函数是高中函数中一种重要函数,也是5类基本初等函数之一,今天我们就来讲讲与幂函数相关的高考数学问题。

  一般地.形如y=xα(α为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。如函数y=x0、y=x1、y=x?2;、y=x-1(注:y=x-1=1/x y=x0时x≠0)等都是幂函数。

  幂函数是形如y=xa的函数,a可以是自然数、有理数,也可以是任意实数或复数 。

  大家一定要记住一些常用幂函数的图象与性质,如下表:

  典型例题分析1:

  已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1.

  (1)求f(x)解析式;

  (2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称,求g(x)解析式.

  解:(1)由于f(x)有两个零点0和-2,

  所以可设f(x)=ax(x+2)(a≠0),

  这时f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a,

  由于f(x)有最小值-1,

  所以必有a>0且-a=-1

  解得a=1.

  因此f(x)的解析式是f(x)=x(x+2)=x2+2x.

  (2)设点P(x,y)是函数g(x)图象上任一点,

  它关于原点对称的点P′(-x,-y)必在f(x)图象上,

  所以-y=(-x)2+2(-x),

  即-y=x2-2x,

  y=-x2+2x,

  故g(x)=-x2+2x.

  同时,要牢记以下幂函数图象的三个特点:

  1、幂函数的图象一定会经过第一象限,一定不会经过第四象限,是否经过第二、三象限,要看函数的奇偶性;

  2、幂函数的图象最多只能经过两个象限内;

  3、如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点。

  典型例题2:

  设f(x)是定义在R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=x,当x>2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4),

  且过点A(2,2)的抛物线的一部分.

  (1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式;

  (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图;

  (3)写出函数f(x)的值域.

  解:(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为

  y=a(x-3)2+4,将(2,2)代入可得a=-2,

  则y=-2(x-3)2+4,

  即x>2时,f(x)=-2x2+12x-14.

  当x<-2时,即-x>2.

  又f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14,

  即f(x)=-2x2-12x-14.

  所以函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式为

  f(x)=-2x2-12x-14.

  (2)函数f(x)的图象如图,

  (3)由图象可知,函数f(x)的值域为(-∞,4].

  解决任何函数问题,我们都需要借助函数的图象与性质,如幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查:

  1、α的正负:

  α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;

  α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降。

  2、曲线在第一象限的凹凸性:

  α>1时,曲线下凸;

  0<α<1时,曲线上凸;

  α<0时,曲线下凸.

  在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数。借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键。

  典型例题分析3:

  已知函数f(x)=x2,g(x)=x-1.

  (1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x),求实数b的取值范围;

  (2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,

  求实数m的取值范围.

  解:(1)?x∈R,f(x)<bg(x)??x∈R,

  x2-bx+b<0?(-b)2-4b>0?b<0或b>4.

  故b的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞).

  (2)F(x)=x2-mx+1-m2,

  Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4.

  典型例题分析4:

  若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.

  (1)求f(x)的解析式;

  (2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.

  解:(1)由f(0)=1,

  得c=1.即f(x)=ax2+bx+1.

  又f(x+1)-f(x)=2x,

  则a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,

  即2ax+a+b=2x,

  所以2a=2且a+b=2.

  解得a=1,b=-1.

  因此,f(x)=x2-x+1.

  (2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,

  即x2-3x+1-m>0,

  要使此不等式在[-1,1]上恒成立,

  只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.

  ∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,

  ∴g(x)min=g(1)=-m-1,

  由-m-1>0得,m<-1.

  因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).

分页: 1 2 3