数学第二讲:函数性质的运用(组图)

数学第二讲:函数性质的运用(组图)

数学第二讲:函数性质的运用(组图)

  复习要求

  1.函数的定义及通性;

  2.函数性质的运用

  学习指导

  函数的概念:

  (1)映射:设非空数集A,B,若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b与之对应,则称从A到B的对应为映射,记为f:A→B,f表示对应法则,b=f(a)。

  (2)函数定义:函数就是定义在非空数集A,B上的映射,此时称数集A为定义域,象集C=f(x)x∈A为值域。定义域,对应法则,值域构成了函数的三要素。

  函数的通性

  (1)奇偶性:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件,在利用定义判断时,应在化简解析式后进行,同时灵活运用定义域的变形,如f(-x)f(x)=0, (f(x)≠0)。

  奇偶性的几何意义是两种特殊的图像对称。

  (2)单调性:研究函数的单调性应结合函数单调区间,单调区间应是定义域的子集。

  判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图像法;③单调性的运算性质(实质上是不等式性质);④复合函数单调性判断法则。

  (3)周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段。

  求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图像法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2a-b。

  (4)反函数:(考纲中反函数的教学,只要求通过比较同底的指数函数和对数函数,说明指数函数y=ax和对数函数y=loga x互为反函数(a > 0,a≠1)。)

  函数的图像

  函数的图像既是函数性质的一个重要方面,又能直观地反映函数的性质,在解题过程中,充分发挥图像的工具作用。

  图像作法:①描点法;②图像变换。应掌握常见的图像变换。

  本单元常见的初等函数:一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性,掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。

  对于抽象函数,通常是抓住函数特性是定义域上恒等式,利用赋值法(变量代换法)解题。主要思想方法:数形结合,分类讨论,函数方程,化归等。

  典型例题

  例1、设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0,当-1

  点拨:在化归过程中,一方面要转化自变量到已知解析式的定义域,另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。

  例2、已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当x∈[-1,2]时,f(x) 的最小值1,且f(x)+g(x)为奇函数,求f(x)解析式。

  点拨:二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论,是求值域的基本题型之一。在已知最值结果的条件下,仍需讨论何时取得最小值。

  答案及分析

  例一:利用化归思想解题


  ∵ f(x)+f(x+2)=0

  ∴ f(x)=-f(x+2)

  ∵ 该式对一切x∈R成立

  ∴ 以x-2代x得:f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)

  当1

  ∴ f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5

  ∴ f(x)=-f(x-2)=-2x+5

  ∴ f(x)=-2x+5(1

  例二:用待定系数法求f(x)解析式

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